Analysis

Aus Wiki des Arbeitskreises MSS (Landau)
Version vom 27. September 2015, 10:39 Uhr von K.Retterath (Diskussion | Beiträge)

(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Grenzwertbegriff

Erste Ideen aus dem Arbeitskreis

Der Grenzwertbegriff erscheint an unterschiedlichen Stellen in der Mathematik und im Mathematikunterricht. Zunächst einmal kann man sich die Frage stellen, wovon denn der Grenzwert untersucht wird. Als mögliche Antworten erweisen sich Terme, geomterische Figuren oder allgemeiner Muster, relative Häufigkeiten und Zahlenfolgen, wobei diese Liste sicherlich erweiterbar ist. Von den Objekten hängt auch die Art der Konvergenz ab (z B. stochastische Konvergenz oder Konvergenz in metrischen Räumen). Ferner ist es auch möglich, Sprechweisen zu untersuchen, wie "Alle bis auf endlich viele Folgenglieder sind nahe genug am Grenzwert".

Von einer Kleingruppe wurden folgende Aspekte des Grenzwertbegriffes herausgearbeitet. Diese orientieren sich an der Art und Weise, wie Grenzwerte bestimmt werden.

1. Numerische Beschreibung von Grenzprozessen

Hier erfolgt die Beschreibung in Form von Tabelle (Tabellenkalkulation) oder Listen iterierter Zahlenwerte.
Problem: Festlegung des Grenzwertes.
  • Letzter Wert?
  • Mittelwert?
  • Extrapolation?

2. a) Graphische Beschreibung: Daumenkino-Prinzip

Diese Grundvorstellung beschreibt Grenzwertprozesse graphisch gemäß dem Prinzip eines Daumenkinos. Dabei werden einzelne Folgenglieder der Reihe nach wie Ebenen übereinander gelagert.
Beispiele: Festlegung des Grenzwertes.
  • Iteration regelmäßiger n-Ecke zur Annäherung von π.
  • Iteration von Zahlenfolgen auf der reellen Achse.

2. b) Graphische Beschreibung: Funktionsgraphen

Funktionsgraphen von Funktionen f:IN → IR.
Unterscheidung monotoner und oszillierender Folgen.

3. Algebraische Beschreibung mittels Termumformungen

Begründung des Grenzwertes durch Termumformungen und Anwendung von Grenzwertsätzen.

Einstieg in die Differentialrechnung

Ausgangsbasis aus der Literatur

Zwar bietet die Literatur eine Fülle an unterschiedlichen Zugangsmöglichkeiten zum Differenzen- und Differentialquotienten im Analysisunterricht, allerdings wird hierbei meist kein explizites Augenmerk auf die Entwicklung zugehöriger Grundvorstellungen gelegt. Ein Vorschlag, welche Grundvorstellungen zum Differenzenquotienten ausgebildet werden können, lässt sich bei Günther Malle finden. Er schlägt in seinem Artikel "Vorstellungen vom Differenzenquotienten fördern" [1] folgende Grundvorstellungen vor:

  • Differenzenquotient als Änderungsverhältnis
„Der Differenzenquotient von f in [a,b] ist (𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏))/(𝑎 −𝑏).“
  • Differenzenquotient als mittlere Änderung pro Einheit
„Der Differenzenquotient ist gleich der mittleren Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit.“
  • Differenzenquotient als Änderungsfaktor
(𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏))/(𝑎−𝑏)=𝑚 ⇔ 𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏)=𝑚∙(𝑎 −𝑏)

Erste Idee aus dem Arbeitskreis

Eine Kleingruppe des Arbeitskreises schlägt in einer ersten Idee folgende Grundvorstellungen vor:

  • geometrische Grundvorstellung
Hierbei ist die Vorstellung des Übergangs von Sekanten- zur Tangentensteigung vorhanden.
  • algebraische Grundvorstellung
Hierbei ist die Vorstellung des Übergangs von Differenzen- zu Differentialquotienten (im Sinne ihrer algebraischen Terme) vorhanden.
  • numerische Grundvorstellung
Hierbei ist die Vorstellung einer Steigung des Funktionsgraphen in einem immer kleiner werdenden Intervall vorhanden.

Weiteres Vorgehen

Im weiteren Verlauf sollen die Grundvorstellungen weiter ausgefeilt, Beispiel- und Testaufgaben erstellt, sowie eine Unterrichtsidee, die die drei Grundvorstellungen möglichst parallel aufbaut, entwickelt werden.

Quellen und Verweise

  1. Malle, G. (2013): Vorstellungen vom Differenzenquotienten fördern. In: mathematik lehren. Sonderband: Wege in die Analysis. S. 73 ff.