Konzept

Aus Wiki des Arbeitskreises MSS (Landau)
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Inhaltsverzeichnis

Grenzwerte

Der Grenzwertbegriff erscheint an unterschiedlichen Stellen in der Mathematik und im Mathematikunterricht. Zunächst einmal kann man sich die Frage stellen, wovon denn der Grenzwert untersucht wird. Als mögliche Antworten erweisen sich Terme, geometrische Figuren oder allgemeiner Muster, relative Häufigkeiten und Zahlenfolgen, wobei diese Liste sicherlich erweiterbar ist. Von den Objekten hängt auch die Art der Konvergenz ab (z B. stochastische Konvergenz oder Konvergenz in metrischen Räumen). Ferner ist es auch möglich, Sprechweisen zu untersuchen, wie "Alle bis auf endlich viele Folgenglieder sind nahe genug am Grenzwert".

Aspekte des Grenzwertbegriffes

Die folgenden Aspekte orientieren sich an der Art und Weise, wie Grenzwerte bestimmt werden.

Tabelle numerisch Entwicklung GW


1. Numerische Beschreibung von Grenzprozessen

Hier erfolgt die Beschreibung in Form von Tabelle (Tabellenkalkulation) oder Listen iterierter Zahlenwerte.
Problem: Festlegung des Grenzwertes.
  • Letzter Wert?
  • Mittelwert?
  • Extrapolation?

Im nebenstehenden Beispiel liegt der Grenzwert 4 nahe. Bestimmt man den Grenzwert statt an der Stelle 2 z. B. an der Stelle π ist der Grenzwert weniger offensichtlich. Dies führt auf die Frage der Genauigkeit des Schätzwertes, der durch den letzten Tabelleneintrag (hier 4,001) gegeben ist. Dies kann bei lokal konvexen oder lokal konkaven Funktionen (also allen Funktionen, die in der Schule vorkommen) sogar eindeutig beantwortet werden: Der Grenzwert ist im Beispiel kleiner als 4,001. Auf die gleiche Weise erhält man eine untere Schranke, wenn man sich von unten an die Stelle 2 annähert.

2. a) Graphische Beschreibung: Daumenkino-Prinzip

Diese Grundvorstellung beschreibt Grenzwertprozesse graphisch gemäß dem Prinzip eines Daumenkinos. Dabei werden einzelne Folgenglieder der Reihe nach wie Ebenen übereinander gelagert.
Beispiele: Festlegung des Grenzwertes.
  • Iteration regelmäßiger n-Ecke zur Annäherung von π.
Daumenkino GW
Heron GW


Tabelle numerischer GW1
  • Iteration von Zahlenfolgen auf der reellen Achse.

2. b) Graphische Beschreibung: Funktionsgraphen

Funktionsgraphen von Funktionen f:IN → IR.
Unterscheidung monotoner und oszillierender Folgen.

3. Algebraische Beschreibung mittels Termumformungen

Begründung des Grenzwertes durch Termumformungen und Anwendung von Grenzwertsätzen.




Einstieg in die Differentialrechnung

Ausgangsbasis aus der Literatur

Zwar bietet die Literatur eine Fülle an unterschiedlichen Zugangsmöglichkeiten zum Differenzen- und Differentialquotienten im Analysisunterricht, allerdings wird hierbei meist kein explizites Augenmerk auf die Entwicklung zugehöriger Grundvorstellungen gelegt. Ein Vorschlag, welche Grundvorstellungen zum Differenzenquotienten ausgebildet werden können, lässt sich bei Günther Malle finden. Er schlägt in seinem Artikel "Vorstellungen vom Differenzenquotienten fördern" [1] folgende Grundvorstellungen vor:

  • Differenzenquotient als Änderungsverhältnis
„Der Differenzenquotient von f in [a,b] ist (𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏))/(𝑎 −𝑏).“
  • Differenzenquotient als mittlere Änderung pro Einheit
„Der Differenzenquotient ist gleich der mittleren Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit.“
  • Differenzenquotient als Änderungsfaktor
(𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏))/(𝑎−𝑏)=𝑚 ⇔ 𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏)=𝑚∙(𝑎 −𝑏)

Erste Idee aus dem Arbeitskreis

Eine Kleingruppe des Arbeitskreises schlägt in einer ersten Idee folgende Grundvorstellungen vor:

  • geometrische Grundvorstellung
Hierbei ist die Vorstellung des Übergangs von Sekanten- zur Tangentensteigung vorhanden.
  • algebraische Grundvorstellung
Hierbei ist die Vorstellung des Übergangs von Differenzen- zu Differentialquotienten (im Sinne ihrer algebraischen Terme) vorhanden.
  • numerische Grundvorstellung
Hierbei ist die Vorstellung einer Steigung des Funktionsgraphen in einem immer kleiner werdenden Intervall vorhanden.

Weiteres Vorgehen

Im weiteren Verlauf sollen die Grundvorstellungen weiter ausgefeilt, Beispiel- und Testaufgaben erstellt, sowie eine Unterrichtsidee, die die drei Grundvorstellungen möglichst parallel aufbaut, entwickelt werden.



Einstieg in die Integralrechnung

Grundvorstellungen zum Integralbegriff

In der Einführung in die Integralrechnung spielen zwei Grundvorstellungen eine Rolle:

  1. Integral als rekonstruierter Bestand
  2. Integral als orientierter Flächeninhalt

Um einen korrekten Eindruck vom Integral zu bekommen, kann auf keinen der beiden Grundvorstellungen verzichtet werden. Beide Grundvorstellungen sind sowohl für die Einführung als auch für die Vertiefung geeignet. Es ist wünschenswert, dass beide Möglichkeiten behandelt werden und die Zusammenhänge zwischen den beiden Interpretationsmöglichkeiten an möglichst eilen Stellen angezeigt werden.

Quellen und Verweise

  1. Malle, G. (2013): Vorstellungen vom Differenzenquotienten fördern. In: mathematik lehren. Sonderband: Wege in die Analysis. S. 73 ff.