Änderungsrate

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Grundvorstellungen zur Differentialrechnung - Basiswissen - Einstieg (Anker) - Änderungsrate - Tangentensteigung

Zusammenfassung: Ableitungsbegriff, Ableitungsfunktion - Vernetzung von Kalkül und Grundvorstellungen -Vom Anker zum Transfer


Inhaltsverzeichnis

Kurzbeschreibung

Der Weg von der Durchschnittsgeschwindigkeit zur Momentangeschwindigkeit verläuft über immer kleiner werdende Zeitintervalle. In diesem Abschnitt wird der Transfer zur innermathematischen Betrachtungsweise, d.h. von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung, entwickelt. Veranschaulicht wird dieser Übergang mit Hilfe einer GeoGebra-Datei. Vor einer konkreten Mathematisierung dieses Zusammenhanges in Form des Differenzenquotienten wird das graphische Ableiten sukzessive durchgeführt und dabei Zusammenhänge zwischen Funktion, Steigung und Ableitungsgraph entwickelt.

Ziele

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • können den Weg von der Sekanten- zur Tangentensteigung nachvollziehen.
  • bestimmen die Steigung an dem Punkt einer Funktion graphisch.
  • entdecken, dass die verschiedenen Steigungswerte den Funktionsgraphen der Steigungsfunktion bilden.
  • erkennen Zusammenhänge zwischen Funktionsgraph und Steigungsgraph.

Verlaufsplan

Nuvola apps ktimer.png 4 Unterrichtsstunden 

Unterrichtsphase Unterrichtsgeschehen Methodik Materialien
Einstieg Visualisierung der Durchschnittsgeschwindigkeit am Graphen Unterrichtsgespräch GeoGebra-Datei
Erarbeitung Bestimmung der Steigungen an verschiedenen Punkten
Partnerarbeit Arbeitsblatt: Übergang zur Steigungsfunktion
Übergang zur Steigungsfunktion Unterrichtsgespräch
Zusammenhänge zwischen dem Funktionsgraphen und deren Steigungsfunktion Gruppenarbeit Flipcharts mit vorgezeichneten Funktions- und passenden Steigungsgraphen, Arbeitsblatt: Besondere Punkte am Funktionsgraphen und passende Folien
Ergebnissicherung Festigung der Zusammenhänge Einzelarbeit Arbeitsblatt: Festigung der Zusammenhänge


Materialien

Auf den nächsten beiden Seiten werden unter anderem vier verschiedene GeoGebra-Dateien zur Verfügung gestellt. Jede einzelne Datei visualisiert dabei die verschiedenen Zugänge zum Ableitungsbegriff. Da durch den offenen Einstieg der Unterrichtsverlauf stark von den Schülern beeinflusst wird, ist die Festlegung der Reihenfolge des Einsatzes der Dateien nicht möglich. Vielmehr liegt es im Ermessen der Lehrkraft, ob und wann eine eine Datei eingesetzt wird.

GeoGebra-Datei: Graphische Veranschaulichung der Durchschnittsgeschwindigkeit

Bisher wurden Durchschnittsgeschwindigkeiten rechnerisch bestimmt. Die GeoGebra-Datei schafft den Übergang von diesem Rechnungen zur graphischen Bedeutung. Mit Hilfe des Konstruktionsprotokolls kann man die bearbeiteten Inhalte in einer sinnvollen Reihenfolgen darstellen und im Rahmen eines Unterrichtsgespräches mit den Schülern entwickeln.

Mit Hilfe des Schiebereglers lässt sich die Sekantensteigung (Durchschnittsgeschwindigkeit) für immer kleinere Zeitintervalle darstellen. Die Idee der Grenzwertbetrachtung dieses Prozesses bis hin zur Tangentensteigung wird hiermit vorbereitet.

Graphische Darstellung der Durchschnittsgeschwindigkeit

GeoGebra-Dateien zum graphischen Grenzwertprozess

Die folgende Datei vertieft den obigen Zusammenhang und legt den Fokus auf den graphischen Grenzwertprozess.

Übergang zur Tangentensteigung mit Zoom

Word-Dateien zum graphischen Ableiten

In diesen Dateien werden Tangenten per Augenmaß eingezeichnet und hieraus die Ableitungsfunktion punktweise konstruiert. Einmal für den natürlichen Logarithmus, der einfach als Graph vorgegeben ist und nicht vorher eingeführt sein muss und einmal für den Sinus.

Datei:Graphisches Ableiten
Graphisches Ableiten

Datei:GrafischesAbleitenSin.odt