Einstieg (Anker)

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Grundvorstellungen zur Differentialrechnung - Basiswissen - Einstieg (Anker) - Änderungsrate - Tangentensteigung

Zusammenfassung: Ableitungsbegriff, Ableitungsfunktion - Vernetzung von Kalkül und Grundvorstellungen -Vom Anker zum Transfer


Inhaltsverzeichnis

Kurzbeschreibung

Ein Advance Organizer gibt den Lernenden einen Überblick über die Einheit. Es folgt direkt die Ankeraufgabe: "Wie lange braucht der Porsche um von 0 auf 100 zu beschleunigen?" (Vorgabe: Weg-Zeit-Messwerte). Diese Aufgabe bildet einen roten Faden durch die Einheit.

Porsche 911

Zeit (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Strecke (m) 0,0 4,7 19,6 45,9 84,8 137,5 205,2 289,1 390,4 510,3

Der beschriebene Einstieg legt nahe, mittlere Geschwindigkeiten (mittlere Änderungsraten) zu verschiedenen Zeitintervallen zu bestimmen, um sich so der momentanen Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) zu einem Zeitpunkt zu nähern. Dies entspricht dem numerischen Zugang zur momentanen Änderungsrate und kann von den Lernenden in Kleingruppen, evtl. mit Hilfen, bewältigt werden.

Ziele

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • knüpfen an ihr Vorwissen über Funktionen an und vollziehen so die neuen zentralen Fragestellungen.
  • erkennen, dass sie die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt (Momentangeschwindigkeit) bestimmen müssen und sie hierfür neue mathematische Werkzeuge benötigen.
  • berechnen zu verschiedenen Zeitintervallen die mittleren Änderungsraten.
  • kommen zu der Erkenntnis, dass sie die Intervalle immer weiter verkleinern müssen, um sich der Momentangeschwindigkeit (momentane Änderungsrate) anzunähern.

Verlaufsplan

Nuvola apps ktimer.png 3 Unterrichtsstunden 

Unterrichtsphase Unterrichtsgeschehen Methodik Materialien
Einstieg Präsentation des Advance Organizers Lehrervortrag Advance Organizer
Ankeraufgabe Zentrale Frage:
Wie lange braucht ein Porsche um von 0 auf 100 zu beschleunigen?

Alternative für den Grundkurs: Wie schnell ist der Porsche nach 5s?

Kurzes Unterrichtsgespräch Arbeitsblatt Porsche
Erarbeitung Berechnen von verschiedenen mittleren Änderungsraten zu verschiedenen Zeitintervallen Gruppenarbeit Arbeitsblatt Porsche (erweitert)
Hilfekarten
Näherungsweises Berechnen der momentanen Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. Gruppenarbeit Arbeitblatt Porsche
Hilfekarten
Ergebnissicherung Präsentation der Ergebnisse und Diskussion der verschiedenen Vorgehensweisen Unterrichtsgespräch


Materialien

Advance Organizer

Die Methode:

Ein Advance Organizer bietet die Möglichkeit, neue Unterrichtsinhalte mit bereits Bekanntem (Grundwissen zu Funktionen, Grenzwertbegriff) zu verknüpfen und den Lernenden einen ersten Einblick in das neue Thema der Differentialrechnung zu gewähren. Die Lehrkraft stellt in einem mediengestützten Lehrervortrag den Zusammenhang zwischen bisherigen Unterrichtsinhalten, die sich alle auf den Bestand bezogen haben und den neuen zu untersuchenden Fragestellungen, die auf die Änderungsrate abzielen, dar.
Im Unterricht:
Im weiteren Verlauf der Unterrichtsreihe kann immer wieder auf den Advance Organizer zurückgegriffen werden, z.B. in dem zu einem späteren Zeitpunkt die einzelnen Elemente des Werkzeugkoffers "gefüllt" werden.
Hinweis:
Es ist wichtig, zu diesem Zeitpunkt die neuen Fachbegriffe (Änderungsrate, Steigung usw.) noch nicht explizit zu benennen, sondern nur allgemein von mathematischen Werkzeugen zu sprechen, um den Lernenden die Möglichkeit zu belassen, zunächst ihr Fehlvorstellungen zu erkennen und zu hinterfragen.

Baustelle.svg
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Arbeitsblatt Porsche

Idee:

Jeder versteht, was die Frage "Wie lange braucht ein Porsche, um von 0 auf 100 zu beschleunigen?" bedeutet. So können sich die Schülerinnen und Schüler von Anfang an auf die Lösung des Problems konzentrieren und werden nicht durch (noch) nicht verstandene mathematische Begriffe abgelenkt. Die Begriffe

  • absolute Änderung
  • mittlere Änderungsrate
  • die lokale Änderungsrate

werden inhaltlich erarbeitet, ohne die mathematischen Begriffe zu verwenden. Diese werden erst definiert, wenn ihre Bedeutung jedem Lernenden klar ist.

Auch die Alternative für den Grundkurs: "Wie schnell ist der Porsche nach 5s?" kann als Ankeraufgabe betrachtet werden. Die enger geführte Fragestellung nach der Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt verhindert das willkürliche und unsystematische Suchen nach der Geschwindigkeit von 100km/h. Zudem wird die Problematik der Einheitenumrechnung vermieden.

Erfahrungen aus dem Unterricht:

Viele Schülerinnen und Schüler beantworteten zunächst intuitiv die Leitfrage so, dass sie die Durchschnittsgeschwindigkeit (mittlere Änderungsrate) im vorgegebenen Zeitraum [0s;5s] berechnen (die in etwa 100 km/h beträgt), was für einen Porsche eine viel zu lange Beschleunigungsdauer wäre.
Andere Schüler versuchen die Aufgabe mit Formeln aus der Physik zu lösen, aber abgesehen von der Formel für die Geschwindigkeit, helfen diese auch nicht weiter.
Eine erste Hürde stellt für Schüler die Umrechnung von km/h in m/s oder umgekehrt dar (100km/h = 27,8m/s).

Haben die Schüler den Unterschied zwischen der gesuchten Momentangeschwindigkeit und der von ihnen berechneten Durchschnittsgeschwindigkeiten verstanden, kann auch eine zentrale Lösungsidee leistungsstarker Schüler darin bestehen, sich Momentangeschwindigkeit so zu nähern, indem sie in ein Zeitintervall von 1s eine zurückgelegte Strecke von ca. 28m suchen.

Arbeitsblatt Porsche neu (pdf)

Datei:AB Porsche neu.odt

Arbeitsblatt Porsche (erweitert)

Um die mittlere Änderungsrate für kleinere Zeitintervalle berechnen zu können, reichen die gegebenen Werte des ersten Arbeitsblattes nicht aus. Daher wird den Schülerinnen und Schülern sowohl eine passende Funktionsgleichung als auch der Graph dieser Funktion zu Verfügung gestellt, so dass zu jedem beliebigen Wert ein Funktionswert ermittelt werden kann. Es ist der Lehrkraft überlassen, ob sie diese Werkzeuge direkt an alle Lernenden ausgibt oder nur nach Aufforderung, bzw. Nachfrage durch die Lerngruppe.
Einstiegsaufgabe: Mit Vollgas in die Differentialrechnung (Leistungskurs)
Einstiegsaufgabe: Mit Vollgas in die Differentialrechnung (Grundkurs)

Hilfekarten

Sollten einzelne Gruppen keine eigene Lösungsidee entwickeln, können sie die Hilfestellung in Anspruch nehmen, die einen möglichen Weg zur Lösungsfindung beschreibt. Zunächst wird das Verständnis der Wertetabelle im Sachzusammenhang gefördert. Im nächsten Schritt erfolgen konkrete Arbeitsaufträge, die von den Schülerinnen und Schülern eigenständig bearbeitet werden können.
Tipps für die Schülerinnen und Schüler

Beispiele von Schülerlösungen

Die Schülerlösungen sind in einem Leistungskurs entstanden.

Schülermitschrift 1
Schülermitschrift 2
Schülerlösungen



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