Tangentensteigung

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Grundvorstellungen zur Differentialrechnung - Basiswissen - Einstieg (Anker) - Änderungsrate - Tangentensteigung

Zusammenfassung: Ableitungsbegriff, Ableitungsfunktion - Vernetzung von Kalkül und Grundvorstellungen -Vom Anker zum Transfer


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Inhaltsverzeichnis

Kurzbeschreibung

Die GeoGebra Datei visualisiert die Vorstellung der mittleren Geschwindigkeit und bereitet damit den Begriff der Sekante/Sekantensteigung vor. Über die Verkleinerung der Zeitintervalle wird der Übergang zur Tangente/Tangentensteigung ermöglicht. Ein besonderer Schwerpunkt liegt in der Unterscheidung der zum Ableitungsbegriff gehörenden Vorstellungen (Sekantensteigung/Tangentensteigung, mittlere Änderungsrate/momentane Änderungsrate) und der Vernetzung in ihren Darstellungsformen.

Ziele

Die Schülerinnen und Schüler...

  • verknüpfen ihr Wissen um die numerische Berechnung der mittleren Geschwindigkeit mit den in der Visualisierung dargestellten Zusammenhänge.
  • entwickeln eine graphische Vorstellung des Übergangs von der Sekante zur Tangente.
  • können die Mathematisierung der Sekanten- und Tangentensteigung nachvollziehen und verstehen die Begriffe Differenzen- und Differentialquotient.

Verlaufsplan

Nuvola apps ktimer.png 2 Unterrichtsstunden  


Unterrichtsphase Unterrichtsgeschehen Methodik Materialien
Erarbeitung Visualisierung mit der Datei Partnerarbeit GeoGebra-Datei
Ergebnissicherung Entwicklung des Sekanten- und Tangentenbegriffs und ihrer Steigung über die

Verkleinerung der Zeitintervalle -> Grenzwertprozess

Unterrichtsgespräch GeoGebra-Datei
Weiterführung Mathematisierung der Begriffe mit Hilfe des Differenzenquotienten und

der Grenzwertbildung

Unterrichtsgespräch


Materialien

GeoGebra-Datei: Visualisierung des numerischen Grenzwertes

Ziel:

Mit Hilfe der GeoGebra-Datei wird im Unterricht die Idee, die Durchschnittsgeschwindigkeit für immer kleiner werdende Intervalle zu berechnen und sich so der Momentangeschwindigkeit anzunähern, wieder aufgegriffen.

GeoGebra-Datei zur Visualisierung des numerischen Grenzwertes


Vorgehensweise:
Sie wählen zunächst einen Zeitpunkt zu dem die Momentangeschwindigkeit angenähert werden soll und stellen diesen mit Hilfe von Punkt A ein. Nun können Sie den Punkt B, der den zweiten Zeitpunkt markiert, verschieben und so dem Punkt A immer weiter annähern. Die Berechnung der mittleren Geschwindigkeit übernimmt das Programm. Die Mathematisierung der numerischen und graphischen Zusammenhänge erfolgt anschließend im Unterrichtsgespräch unter besonderer Berücksichtigung eines sprachsensiblen Umgangs mit den Fachbegriffen. Hier empfehlen wir die sprachsensible Vertiefung als Vorbereitung.
Zudem können die Schülerinnen und Schüler in das Bild hineinzoomen, um die Verkleinerung des Zeitintervalls durch Annäherung eines Punktes an den gewählten Zeitpunkt aktiv zu verfolgen.

GeoGebra-Datei: Grenzwertprozess

Mit Hilfe dieser Datei wird die Entwicklung des Sekanten- und Tangentenbegriffs und ihrer Steigung über die

Verkleinerung der Zeitintervalle erarbeitet.

GeoGebra-Datei: Visualisierung des Grenzwertes

Tabelle: Sprachsensible Vertiefung als vorbereitende Lektüre für die Lehrkraft

Diese Tabelle bietet einen Überblick über alle in der Differenzialrechnung benötigten Begriffe unter dem Aspekt Sprache und Darstellungsvernetzung.

Dabei geht der geometrische Zugang auf die formalsprachlichen und graphischen Begriffe ein, während der Zugang über den Kontext die Fach- Bildungs- und Alltagssprache umfasst.
Eine Auseinandersetzung der Lehrkraft mit diesen Begriffen in einem geordneten Zusammenhang ist bereits im Vorfeld der Unterrichtsreihe sinnvoll. Zum Abschluss kann diese Tabelle mit Schülern als Übung behandelt werden.

Sprachsensible Vertiefung






Grundvorstellungen zur Differentialrechnung - Basiswissen - Einstieg (Anker) - Änderungsrate - Tangentensteigung

Zusammenfassung: Ableitungsbegriff, Ableitungsfunktion - Vernetzung von Kalkül und Grundvorstellungen -Vom Anker zum Transfer


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