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Grundvorstellungen zur Differentialrechnung - Basiswissen - Einstieg (Anker) - Änderungsrate - Tangentensteigung

Zusammenfassung: Ableitungsbegriff, Ableitungsfunktion - Vernetzung von Kalkül und Grundvorstellungen -Vom Anker zum Transfer




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Inhaltsverzeichnis

Kurzbeschreibung

Im Anschluss an die Ankeraufgabe und die Einführung des Ableitungsbegriffs ist es notwendig zum einen das neu entwickelte Kalkül zu üben, aber dabei die Genese des Entwicklungsprozesses nicht außen vor zu lassen.
Inhaltlich erweitert werden die bisherigen Erkenntnisse um die ersten einfachen Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen (Potenzregel, Faktorregel und Summenregel) und die für die kognitive Verankerung wichtige Vorstellung des (qualitatien) graphischen Ableitens.
Die hier vorgestellten Beispiele können den Kern einer Übungs- und Vertiefungsphase bilden, die alle Aspekte des von der Ankeraufgabe ausgehenden Entwicklungsprozesses nochmals aufgreift und sichert.

Ziele

Die Schülerinnen und Schüler...

  • vertiefen die Begriffe mittlere und momentane Änderungsraten bzw. Sekantensteigung und Tangentensteigung in verschiedenen Kontexten.
  • verknüpfen die Eigenschaften eines Funktionsgraphen mit den Eigenschaften seines Ableitungsgraphen.
  • vernetzen die Grundvorstellungen der Änderungsrate und der Tangentensteigung.


Unterrichtsinhalte

Ableitungsregeln
Nuvola apps ktimer.png 2 Unterrichtsstunden 

Notwendig für den weiteren Unterrichtsgang sind hier nur die ersten einfachen Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen (Potenzregel für natürliche Exponenten, Faktorregel und Summenregel). Es bietet sich an, die weiteren Ableitungsregeln und andere Funktionenklassen dann zu thematisieren, wenn eine solche Funktion beim Transfer auf neue Kontexte auftaucht.

  • Übertragung des bisher bekannten Kalküls auf einfache Beispielfunktionen (x2, x3, 2 x2, ...) und daraus die Formulierung der Potenz- und Faktorregeln.
  • Aufgabe Ableitungen bestimmen - Mit solchen Aufgaben lässt sich beispielsweise auch die Summenregel anbahnen.


Graphisches Ableiten
...
zur Visualisierung Geogebra nutzen ...

Die wichtigsten Eigenschaften zur Beschreibung sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Graph der Funktion Graph der Ableitungsfunktion
Gerade Parallele zur x-Achse
Parallele zur x-Achse x-Achse, f´(x)=0
steigend oberhalb der x-Achse
fallend unterhalb x-Achse
Hochpunkt oder Tiefpunkt Schnittpunkt mit der x-Achse
linksgekrümmt steigend
rechtsgekrümmt fallend
steilster Anstieg Hochpunkt
steilster Abfall Tiefpunkt



Aufgabenbeispiele

Die folgenden Aufgaben spiegeln jeweils verschiedene Aspekte des Kalküls und der Grundvorstellungen wieder, die die einzelnen Phasen der Begriffsentwicklung von der Ankeraufgabe ausgehend nochmals aufgreifen und vertiefen.
Sie sind als Beispielaufgaben zu verstehen - mehr entsprechende Aufgaben finden Sie in den verschiedenen eingeführten Schulbüchern.




Dieses Werk von der AK MSS der Universität Landau ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Nicht-kommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. CC BY NC SA