Ausblick

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Grundvorstellungen zur Differentialrechnung - Basiswissen - Einstieg (Anker) - Änderungsrate - Tangentensteigung

Zusammenfassung: Ableitungsbegriff, Ableitungsfunktion - Vernetzung von Kalkül und Grundvorstellungen -Vom Anker zum Transfer


<- Analysis

Baustelle.svg ACHTUNG: Diese Seite ist noch unvollständig und wird zur Zeit erweitert.


Inhaltsverzeichnis

Kurzbeschreibung

Aufbauend auf der Erarbeitung der Ableitung an einem Punkt wird sich im Unterricht die Untersuchung von Funktionen als Ganzes und die Behandlung von Ableitungsregeln anschließen. An dieser Stelle sollen Ideen für das weitere Vorgehen dargestellt werden.


Zusammenfassung: Ableitung einer Funktion

Arbeitsblatt: Übergang zur Steigungsfunktion

Um den Übergang von der Steigung an einem Punkt zur Steigungsfunktion zu schaffen, kann als Arbeitsblatt die Seite S.33 aus Mathematik Neue Wege "Übungsmaterialien - Einführung in die Analysis" (ISBN: 978-3-507-85543-4) eingesetzt werden. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen graphisch die Steigungen an verschiedenen Punkten, tragen diese in einer Wertetabelle und dann in ein zweites Koordinatensystem ein. Im Unterricht kann dann thematisiert werden, ob so eine Funktion entsteht.

Arbeitsblatt: Besondere Punkte am Funktionsgraphen, Zuordnungspuzzle zur Steigungsfunktion und Erarbeitung von Zusammenhängen

Die Arbeitsblätter zeigen sechs verschiedene Funktionen mit deren Steigungsfunktionen. Diese Funktionen werden auf Flipcharts vorbereitet. Zum Einstieg erhält jede Arbeitsgruppe ein Flipchart mit einer Ausgangsfunktion. In Gruppenarbeit werden besondere Punkte markiert und ggf. benannt. Im Unterrichtsgespräch werden die Ergebnisse gesammelt und die Fachwörter zu den jeweiligen Punkten im Unterrichtsgespräch eingeführt. Um alles notieren zu können, erhalten die Schülerinnen und Schüler das linke Arbeitsblatt mit den Ausgangsfunktionen.
Besondere Punkte an Funktionen
Ableitungen zum AB "Besondere Punkte an Funktionen"

In der nächsten Phase ordnen die Schüler ihrem Funktionsgraphen den passenden Steigungsgraph zu. Dies fördert einen regen Austausch zwischen den Gruppen. Sind die Graphen richtig zugeordnet stellen die Schüler in ihren Arbeitsgruppen vertiefend Zusammenhänge zwischen den zuvor markierten besonderen Punkten am Graph und der zugehörigen Steigungsfunktion her und formulieren diese schriftlich.

Arbeitsblatt: Festigung der Zusammenhänge

Die folgende Datei kann zur Festigung als Hausaufgabe bearbeitet werden.

Festigung der Zusammenhänge


Ableitungsregeln

Ableitungsregeln - numerisch (falkultativ)

In vorhergehenden Abschnitten wurde die Ableitungsfunktion von f(x) = x^2 ermittelt und f'(x) genannt. Welchen Funktionsterm hatte f'(x)? Diesen benötigen Sie jetzt.

Was passiert mit der Konstanten 3, wenn Sie die Funktion g(x)=x^2 + 3 numerisch ableiten würden? Wie hängen g'(x) und f'(x) zusammen?

Tipp: Natürlich könnte man jetzt wieder arbeitsteilig jeden Punkt ausrechnen. Man kann aber sehen, das beim numerischen Ableiten mit der Konstanten 3 immer das Gleiche passiert, egal an welcher Stelle man numerisch ableitet.

Was ergibt die numerische Ableitung von den Funktionen h(x) = 3*x^2?

Wie ist die 3 jeweils bei h und g geometrisch zu deuten und wie wirkt sie sich auf die Ableitungen aus?

Ableitungsregeln - graphisch

Zeichen Sie qualitative irgendeinen Funktionsgraph und nennen Sie Ihre Funktion f. Zeichnen Sie mit anderen Farben die Funktionen f(x) + 3 ein (dies neue Funktion sei g(x) genannt), sowie h(x) = 3*f(x), k(x) = f(x-3), und m(x) = f(3*x). Wenn Sie nicht mehr wissen wie das geht, informieren Sie sich bitte mit Materialien der 10. Jahrgangsstufe.

Welche geometrische Bedeutung hat die Konstante Zahl 3 in den vier Fällen g, h, k, m jeweils?

Zeichnen Sie zu allen fünf Funktionen die Ableitungsfunktionen ein. Vergleichen Sie die Ableitunggraphen mit dem Graph von f' und geben Sie die Funktionsterme der Ableitungen g', h', k', m' mit Hilfe von f'(x) an.

Tipp: Stellen Sie sich vor, was mit den Steigungsdreiecken passiert, wenn die Funktion f in die Funktionen g, h, k, m verändert wird.

Hilfe: Sie können statt irgendein f(x) auch zunächst die Normalparabel f(x) = x^2 betrachten.

XX Datei XX

Ableitungsregeln - algebraisch

Im Abschnitt Ableitungsfunktion - algebraisch wurde die Stelle t allgemein gehalten und ein Term für den Differentialquotienten berechnet. In diesem Abschnitt verallgemeinern wir zusätzlich noch die Funktion. Wir betrachten also nicht mehr speziell sondern ganz allgemein irgeneine Funktion f(x)

1. Schritt: Wie würde sich diese Berechnung ändern, wenn man statt f(x) den Funktionsterm f(x) + 3 betrachten würde?

2. Schritt: Stellen Sie eine Vermutung auf, was [f(x) + c]' ergibt und beweisen Sie diese. c ist dabei eine konstante reelle Zahl wie 3 oder 99,3403 nur viel einfacher zu schreiben.

3. Schritt: Was könnte [c*f(x)]' ergeben? Beweisen Sie auch diese Vermutung.


Denkbare Vorgehensweisen zur Erarbeitung der Ableitung an einem Punkt und von Funktionen als Ganzes

Didaktischer Kommentar

Es ist sinnvoll, im Einstieg zur Differentialrechnung nicht den Funktionsterm x² zu betrachten. Denn die Parabel hat die besondere Eigenschaft, dass alle Sekanten die gleiche Steigung wie die Tangente in der Mitte zwischen den Sekantenstützstellen hat. Dies kann zu Fehlvorstellungen führen und auch dazu, dass sich die Sekantensteigungen gar nicht einem Wert annähern, sondern eine konstante Folge ergeben - nämlich dann, wenn man sich symmetrisch der Stützstelle der Tangente nähert. All dies würde dann bei der nächsten Funktion nur zu Verwirrungen führen.

mSek = ((x+h)² - (x-h)²)/2h = 4xh/2h = 2x = mTan für jede Tangentenstützstelle x.

Die folgenden Tabelle gibt eine Übersicht über 9 Unterrichtsbausteine. Diese können in 2 Versionen unterrichtet werden:

1. Zeile für Zeile, also in der Reihenfolge 1-9.

Dabei kann zwischen numerisch und graphisch innerhalb der Zeilen auch getauscht werden. Der Baustein Ableitungsregeln-numerisch (7) kann weggelassen werden, vieles kann auch in die Hausaufgaben verlegt werden. Ca. 4 Doppelstunden mit Hausaufgaben.

2. Die dritte Spalte zunächst weglassen und dann der algebraische Zugang am Stück in der letzten Doppelstunde (1,2,4,5,7,8,3+6+9).

Die Bausteine sind spaltenweise abhängig, zusätzlich hängt Baustein 3 (punktuelles Algebraisches Ableiten) von Bausstein 1 ab.

Nuvola apps ktimer.png 8 Unterrichtsstunden 

Numerisch Graphisch Algebraisch
Ableitung in einem Punkt Baustein 1 Baustein 2 Baustein 3
Ableitungsfunktion Baustein 4 Baustein 5 Baustein 6
Ableitungsregel Baustein 7* Baustein 8 Baustein 9
  • Der Baustein Ableitungsregeln-numerisch (7) kann weggelassen werden

[Sollte in die Tabelle nur Klick oder Text wie in Zeile 1? Letzteres wäre redundant zu den Randbeschriftungen.]

[Das folgende ist leider z. T. für Kollegen, z. T. wie Arbeitsaufträge für die Lernenden geschrieben. Man muss ja eh noch sehen, was man damit macht.]

Numerisches Ableiten in einem Punkt

Aufgabe 1

[Angefangene Tabellen vorgeben, mit x vs x+h und x-h vs x+h Methode. ?? Vermutlich sollte man diese Aufgaben nciht im Wiki, sondern in einem Arbeitsblatt einstellen. Dann kann man es gleich ausdrucken und einsetzen. ]

Aufgabe 2

Bakterien kann man in flachen Petrischalen züchten und ihre Anzahl über die von ihnen bedeckte Fläche F schätzen. Das Bakterienwachstum werde nahe t=2 Stunden durch F(t) = Wurzel(3(t+1)) beschrieben. Dabei gibt t gibt die Zeit in Stunden, F die Fläche in cm^2 an. Legen Sie eine Tabelle an, die verschiedene durchschnittliche Wachstumsraten um den Zeitpunkt t=2 beschreibt und ermitteln Sie die momentane Wachstumgsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t=2 in einer sinnvollen Genauigkeit.

Graphisches Ableiten in einem Punkt

Auf dem Arbeitsblatt finden Sie Funktionen für verschiedene Größen. Man kann die Änderungsraten dieser Größen in drei Schritten graphisch ermitteln:

1. Tangente per Augenmaß möglichst genau und mit möglichst großer Strichlänge einzeichnen.

2. Großes Steigungsdreieck an die Tangent einzeichnen.

3. Tangentensteigung berechnen m = delta x/delta y ("senkrecht durch waagrecht")

Danach wie immer die Änderungsrate in einer sinnvollen Genauigkeit angeben.

XX Datei einbinden XX

Algebraisches Ableiten in einem Punkt

Aufgabe 1

Sehen Sie sich die Tabelle in Abschnitt [[#Numerisches Ableiten in einem Punkt|Punktuelles numerisches Ableiten] an. Wenn Sie dort die Zahlen 0,1; 0,01; 0,001 durch h ersetzen, können Sie die Einträge in der XX. Spalte als Formel schreiben. Diese Formel lässt sich so vereinfachen, dass Sie für h nicht nur immer kleinere Zahlen einsetzen können, sondern dass Sie sogar 0 für h einsetzen dürfen. Welcher Wert ergibt sich dann für die momentane Änderungsrate an der Stelle XX?

Aufgabe 2

Auch die Wurzelfunktion kann z. B. im Punkt x=4 algebraisch nach Art von Aufgabe 1 abgeleitet werden.

Tipp zu Aufgabe 2: Erweitern Sie den Differenzenquotienten so, dass sich im Nenner eine dritte Binomische Formel ergibt.

Ableitungsfunktion - numerisch

Aufgabe für eine Gruppenarbeit

Jede Gruppe sucht sich eine andere Stelle x_0 und ermittelt numerisch die momentane Änderungsrate von f(x) = 1/x an dieser Stelle. Alle erhalten Werte werden in einer Tabelle zusammengefasst, die man als Wertetabelle einer neuen Funktion f'(x) deuten kann.

Ableitungsfunktion - graphisch

Die Lernenden erhalten eine Sinus- und eine ln-Funktion als Graph auf Millimeterpapier (möglichst großer Maßstab). Hierzu sollen sie in vielen, selbst gewählten Punkten die Tangentensteigungen bestimmen, diese in eine Tabelle eintragen und dann hieraus eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion zeichnen. Erfahrungsgemäß fällt den Lernenden dieser Übergang zu einer neuen Funktion schwer - möglicherweise, weil der Funktionsbegriff auch in der Obestufe noch immer weiter gefestigt und flexibilisert werden muss. Das klingt widersprüchlich und ist so gemeint: Das Verständnis muss so gefestigt sein, dass das Konzept flexibel, auf die verschiedensten Situationen, hier die Zusammenfassung von ermittelten Werten zu einer neuen Funktion, angewandt werden kann.

Wegen der Schwierigkeit mit der neuen Funktion ist der Umweg über die Tabelle (Stelle - zugehörige Steigung) vermutlich sinnvoll. Weiterhin ist darauf zu achten, dass die beiden Graphen der Funktion und ihrer Ableitung immer untereinander stehen sollten.

XX Einfügen Datei XX

Ableitungsfunktion - algebraisch

In Abschnitt Punktuelles numerisches Ableiten waren für die Schrittweiten verscheidene Zahlen in der Tabelle zu finden. Im Abschnitt Punktuelles numerisches Ableiten wurden diese Zahlen durch eine Variable h ersetzt. In diesem Abschnitt gehen wir einen Schritt weiter und ersetzen auch die Stelle, an der die momentane Änderungsrate betrachtet wird, durch eine Variable. Die Stelle 2 in Punktuelles numerisches Ableiten - Aufg. 2 wird jetzt ganz allgemein durch t ersetzt. Gib die Formel für die momentane Änderungsrate an einer beliebigen Stelle t durch eine Formel an.


Weiterführende Literatur

Materialien von Till Dennier