Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff

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Erste Ideen aus dem Arbeitskreis

Der Grenzwertbegriff erscheint an unterschiedlichen Stellen in der Mathematik und im Mathematikunterricht. Zunächst einmal kann man sich die Frage stellen, wovon denn der Grenzwert untersucht wird. Als mögliche Antworten erweisen sich Terme, geomterische Figuren oder allgemeiner Muster, relative Häufigkeiten und Zahlenfolgen, wobei diese Liste sicherlich erweiterbar ist. Von den Objekten hängt auch die Art der Konvergenz ab (z B. stochastische Konvergenz oder Konvergenz in metrischen Räumen). Ferner ist es auch möglich, Sprechweisen zu untersuchen, wie "Alle bis auf endlich viele Folgenglieder sind nahe genug am Grenzwert".

Von einer Kleingruppe wurden folgende Aspekte des Grenzwertbegriffes herausgearbeitet. Diese orientieren sich an der Art und Weise, wie Grenzwerte bestimmt werden.

1. Numerische Beschreibung von Grenzprozessen

Hier erfolgt die Beschreibung in Form von Tabelle (Tabellenkalkulation) oder Listen iterierter Zahlenwerte.
Problem: Festlegung des Grenzwertes.
  • Letzter Wert?
  • Mittelwert?
  • Extrapolation?

2. a) Graphische Beschreibung: Daumenkino-Prinzip

Diese Grundvorstellung beschreibt Grenzwertprozesse graphisch gemäß dem Prinzip eines Daumenkinos. Dabei werden einzelne Folgenglieder der Reihe nach wie Ebenen übereinander gelagert.
Beispiele: Festlegung des Grenzwertes.
  • Iteration regelmäßiger n-Ecke zur Annäherung von π.
  • Iteration von Zahlenfolgen auf der reellen Achse.

2. b) Graphische Beschreibung: Funktionsgraphen

Funktionsgraphen von Funktionen f:IN → IR.
Unterscheidung monotoner und oszillierender Folgen.

3. Algebraische Beschreibung mittels Termumformungen

Begründung des Grenzwertes durch Termumformungen und Anwendung von Grenzwertsätzen.