Mit Vollgas in die Differentialrechnung

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Inhaltsverzeichnis

Folien der Präsentation

Die Aufgabe

Porsche-911-gelb-200px.png

Aufbauend auf den Grundvorstellungen von Malle, schlägt unsere "Kleingruppe des Arbeitskreises in einer ersten Idee folgende Grundvorstellungen vor:"

  • geometrische Grundvorstellung
Hierbei soll die Vorstellung des Übergangs von Sekanten- zur Tangentensteigung ausgebildet werden.
  • algebraische Grundvorstellung
Hierbei geht es um Vorstellung des Übergangs von Differenzen- zu Differentialquotienten (im Sinne ihrer algebraischen Terme).
  • numerische Grundvorstellung
Hierbei soll die Vorstellung einer Steigung des Funktionsgraphen in einem immer kleiner werdenden Intervall entwickelt werden.


Um diese drei genannten Grundvorstellungen möglichst gleichzeitig und vielfältig auszubilden, wurde die sog. "Porsche-Aufgabe" entwickelt, mit der Sie mit "Vollgas in die Differentialrechnung" einsteigen können.
Die "Porsche-Aufgabe" bietet echte Anwendungsbezüge, ermöglicht die drei Grunderfahrungen nach Winter und trägt zu dem Entwickeln der drei o.g. Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff bei. Die echte Messwerte können mit den Funktionswerten der Funktion:
f(t) = 2,7 t 2+ 2,9 t
optimal genähert werden. Um die numerische Lösung zu ermöglichen haben wir die Werte in der Tabelle durch die Werte dieser Funktion ersetzt.

Beschleunigungsvorgang des Porsche 911 GTR

Zeit in s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Weg in m 0 5,6 16,6 33 54,8 82 114,6 152,6 196 244,8

Wie lange dauert es, bis das Auto sich von "0 auf 100" (km/h) beschleunigt hat?

Erster Lösungsansatz: Der Charme der Aufgabe liegt in dem verpackten Stolperstein, der die Schüler bei ihrem ersten Lösungsansatz in die Irre führt. Vermutlich werden Ihre Schüler intuitiv wie folgt die benötigte Zeit berechnen: Geschwindigkeit = 261,1m / 9,4s ≈ 27,8 m/s = 100km/h Also benötigt der Porsche 9,4s, um auf 100 km/h zu beschleunigen. Wer früher Auto-Quartett gespielt hat oder sich sich für Autos interessiert, wird schnell merken, dass diese Zeit für einen Porsche viel zu lang ist. Was hier also berechnet wurde, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit und nicht die eigentlich gesuchte Momentangeschwindigkeit. Ist dieser Punkt im Unterricht erreicht, kann eine fruchtbare Diskussion im Plenum oder in Kleingruppen stattfinden über die Unterschiede der beiden Geschwindigkeiten und Messung derselben.

Hilfestellungen für Schülerinnen und Schüler

  1. Sie können die in der Veranstaltung vorgestellten Hilfekarten hier herunterladen.
  2. Eine Tabelle der Messergebnisse in OpenopenOffice/LibreOffice-Format (ods) können Sie hier herunterladen.

Eine kreative Schülerlösung

Idee:

Es werden zwei Autos ins Rennen geschickt:
Das erste Auto startet an der Startlinie mit 0 km/h Geschwindigkeit und beschleunigt sich gleichmäßig.
Das zweite Auto passiert die Startlinie gleichzeitig mit dem ersten Auto. Dieses Auto bewegt sich die ganze Zeit mit einer konstanten Geschwindigkeit von 100 km/h.
Die beiden Autos haben die gleiche Geschwindigkeit in dem Moment, wenn ihr Abstand zueinander am größten ist (bevor das erste Auto das zweite überholt hat).

Vorstellungshilfen

Zur Aufgabe

GeoGebra-Applet

Zur kreativen Schülerlösung

Stellen Sie sich vor, Sie sitzen im ersten Auto ...
GeoGebra-Applet

Teilnehmerbeiträge

Auf Wunsch der Teilnehmer können einzelne Beiträge am Ende des Workshops abfotografiert und hier zur Verfügung gestellt werden.